แม้เกมเสี่ยงโชคอย่างลูกเต๋าจะให้อัตราต่อรองที่คาดเดาได้ เช่น ความน่าจะเป็นเฉพาะของการทอยได้เจ็ดแทนที่จะเป็นแปด แต่ความเสี่ยงในโลกจริงนั้นถูกควบคุมโดยความแตกต่างระหว่าง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เชิงวัตถุวิสัย และ อรรถประโยชน์เชิงอัตวิสัย.
การแปลงของแบร์นูลลี
ดาเนียล แบร์นูลลี ได้เปลี่ยนแปลงความเข้าใจของเราเกี่ยวกับความเสี่ยง โดยแสดงให้เห็นว่าเหตุผลของมนุษย์ไม่ใช่เพียงการคำนวณมูลค่าที่คาดหวัง แต่เป็นความสอดคล้องกลมกลืนระหว่างการวัดทางคณิตศาสตร์กับสัญชาตญาณ เขาโต้แย้งว่าผู้ใดก็ตามที่เดิมพันทรัพย์สินส่วนใหญ่ของตนในเกมที่ "ยุติธรรม" กระทำอย่างไม่มีเหตุผล เพราะผลกระทบทางจิตใจจากการสูญเสียนั้นไม่สมส่วนกับผลกำไร
- ข้อจำกัดของลูกเต๋า: ในแง่คณิตศาสตร์ล้วนๆ เกมผลรวมเป็นศูนย์นั้นยุติธรรม แต่แบร์นูลลีเตือนว่ามันเป็น "เกมของผู้แพ้" เมื่อประเมินในแง่ของอรรถประโยชน์
- ส่วนที่แน่นอนเทียบเท่า: บุคคลส่วนใหญ่ทำตัวเป็น ผู้กระทำที่หลีกเลี่ยงความเสี่ยงโดยชอบของกำนัลที่แน่นอน (เช่น 20 ดอลลาร์) มากกว่าการเสี่ยงโชคที่ไม่แน่นอนซึ่งมีมูลค่าที่คาดหวังสูงกว่า (เช่น 25 ดอลลาร์)
- คำตักเตือนของธรรมชาติ: ความไม่รอบคอบของนักพนันเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของเปอร์เซ็นต์ความมั่งคั่งทั้งหมดที่ถูกปล่อยให้ขึ้นอยู่กับโอกาส
$$E[\text{Value}] = (0.50 \times 50) + (0.50 \times 0) = 25$$
$$E[U(W)] = \sum P_i \cdot U(W_i)$$